简介
这一篇主要介绍向量空间$R^{n}$，围绕着$R^{n}$来展开关于向量空间的许多概念，这里面的很多概念都可以利用$R^{2}$、$R^{3}$的几何概念形象化。
$R^{n}$的子空间
$R^{n}$中的向量子集，称为子空间。通常情况下子空间与某个矩阵$A$有关，它们提供了关于方程$Ax=b$的有用信息。子空间对加法和标量乘法运算是封闭的。
列空间与零空间
- 矩阵$A$的列空间是$A$的各列的线性组合的集合，记作Col $A$。
- 矩阵$A$的零空间是齐次方程$Ax=0$的所有解的集合，记为Nul $A$。
- Nul $A$的进一步描述为$R^{n}$中在线性变换$x$ -> $Ax$下映射到$R^{m}$中的零向量的全体向量的集合。 从求解矩阵零空间的角度看，Nul $A$的生成集中向量的个数等于方程$Ax=0$中自由变量的个数。下图为线性变换：
子空间的基
因为子空间一般含有无穷多个向量，子空间中的问题最好能够通过研究生成这个子空间的一个小的有限集合来解决，这个集合越小越好。可以证明，最小可能的生成集合必是线性无关的。矩阵$A$的主元列构成列空间的基。
维数与秩
子空间的维数
定义：非零子空间$H$的维数，用dim $H$表示，是$H$的任意一个记得向量个数。零子空间{0}的维数定义为零。矩阵$A$的秩（记为rank $A$）是$A$的列空间的维数。
引出秩定理：如果一矩阵$A$有n列，则rank $A$+dim Nul $A$=n。
参考文献
[1][线性代数及其应用]